Программа Для Нахождения Кротчайшего Путь' title='Программа Для Нахождения Кротчайшего Путь' />Базовые алгоритмы нахождения кратчайших путей во взвешенных графах Хабрахабр. Наверняка многим из гейм девелоперов или просто людям, увлекающимися програмировагнием будет интересно услышать эти четыре важнейших алгоритма, решающих задачи о кратчайших путях. EDI/01_05_17_1/1493590891-23956/tutorial/909/objects/45/files/45_04.png' alt='Программа Для Нахождения Кротчайшего Путь' title='Программа Для Нахождения Кротчайшего Путь' />Обычно задача поиска пути на графе формулируется следующим образом найти. Журнал Замежныя Мовы У Рэспублiцы Беларусь далее. Диалоговое окно программы поиска кратчайшего пути и процедура. Рассмотрим пример нахождение кратчайшего пути. Дана сеть автомобильных дорог, соединяющих области города. Некоторые дороги односторонние. Длина пройденной части пути от 0 до u d. Gp2PwAyBc/74f87351.png' alt='Программа Для Нахождения Кротчайшего Путь' title='Программа Для Нахождения Кротчайшего Путь' />Сформулируем определения и задачу. Графом будем называть несколько точек вершин, некоторые пары которых соединены отрезками рбрами. Граф связный, если от каждой вершины можно дойти до любой другой по этим отрезкам. Циклом назовм какой то путь по рбрам графа, начинающегося и заканчивающегося в одной и той же вершине. И ещ граф называется взвешенным, если каждому ребру соответствует какое то число вес. Не может быть двух рбер, соединяющих одни и те же вершины. Каждый из алгоритмов будет решать какую то задачу о кратчайших путях на взвешенном связном. Кратчайший путь из одной вершины в другую это такой путь по рбрам, что сумма весов рбер, по которым мы прошли будет минимальна. Для ясности приведу пример такой задачи в реальной жизни. Пусть, в стране есть несколько городов и дорог, соединяющих эти города. При этом у каждой дороги есть длина. Вы хотите попасть из одного города в другой, проехав как можно меньший путь. Считаем, что в графе n вершин и m рбер. Пойдм от простого к сложному. Алгоритм Флойда Уоршелла. Находит расстояние от каждой вершины до каждой за количество операций порядка n3. Веса могут быть отрицательными, но у нас не может быть циклов с отрицательной суммой весов рбер иначе мы можем ходить по нему сколько душе угодно и каждый раз уменьшать сумму, так не интересно. Пусть идт i ая итерация, и мы хотим обновить массив до i 1 ой. Для этого для каждой пары вершин просто попытаемся взять в качестве пересадочной i 1 ую вершину, и если это улучшает ответ, то так и оставим. Всего сделаем n 1 итерацию, после е завершения в качестве пересадочных мы сможем использовать любую, и массив d будет являться ответом. Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути. Эта задача часто называется задачей нахождения кратчайшего. Алгоритм Беллмана Форда для нахождения кратчайшего пути от. Программа должна работать так, чтобы пользователь вводил название. Аналогично предыдущему алгоритму, веса могут быть отрицательными, но у нас не может быть циклов с отрицательной суммой весов рбер. Если таких путей до вершины j нет, то d. В самом начале d заполнен 2. Чтобы обновлять на i ой итерации массив, надо просто пройти по каждому ребру и попробовать улучшить расстояние до вершин, которые оно соединяет. Кратчайшие пути не содержат циклов, так как все циклы неотрицательны, и мы можем убрать цикл из путя, при этом длина пути не ухудшится хочется также отметить, что именно так можно найти отрицательные циклы в графе надо сделать ещ одну итерацию и посмотреть, не улучшилось ли расстояние до какой нибудь вершины. Поэтому длина кратчайшего пути не больше n 1, значит, после n ой итерации d будет ответом на задачу. Все веса неотрицательны. Заведм два массива mark. Также поддерживается инвариант того, что для помеченных вершин длина, указанная в d, и есть ответ. Сначала помечена только вершина 0, а g. Тогда значение d. Пусть, кратчайший путь до v из 0 проходит не только по помеченным вершинам в качестве пересадочных, и при этом он короче d. Возьмм первую встретившуюся непомеченную вершину на этом пути, назовм е u. Длина пройденной части пути от 0 до u d. Но тогда v не подходит под сво описание у не не наименьшее значение d. Противоречие. Так делаем, пока все вершины не станут помеченными, и d не станет ответом на задачу. Следует заметить, что m может быть порядка n2, то есть эта вариация алгоритма Дейкстры не всегда быстрее классической, а только при маленьких m. Нам нужно уметь находить по значению d минимальную вершину и уметь обновлять значение d в какой то вершине. В классической реализации мы пользуемся простым массивом, находить минимальную по d вершину мы можем за порядка n операций, а обновлять за 1 операцию. Воспользуемся двоичной кучей во многих объектно ориентированных языках она встроена. Куча поддерживает операции добавить в кучу элемент за порядка logn операций, найти минимальный элемент за 1 операцию, удалить минимальный элемент за порядка logn операций, где n количество элементов в куче. В куче будем хранить пары из номера вершины v и d. Также в куче могут быть фиктивные элементы. Так происходит, потому что значение d. Поэтому в куче могут быть несколько элементов с одинаковым номером вершины, но с разным значением d но всего вершин в куче будет не более m, я гарантирую это. Когда мы берм минимальное значение в куче, надо проверить, является ли этот элемент фиктивным. Для этого достаточно сравнить значение d в куче и реальное его значение. А ещ для записи графа вместо двоичного массива используем массив списков.