Вычисление определителя. Материал из Machine. Learning. Постановка задачи Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица, и различными способами их вычислений. Программа Нахождения Матрицы' title='Программа Нахождения Матрицы' />В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры, но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений. Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Нахождение обратной матрицы, бесплатно, онлайн сервис для. При помощи нашей программы Вы можете найти обратную матрицу прямо на сайте,. Программа Нахождения Матрицы' title='Программа Нахождения Матрицы' />Нахождение определителя матрицы, онлайн сервис для нахождения. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка, нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц. Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел. В литературе вместо термина. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. Эти действия над строками столбцами мы будем выполнять так же, как действия над матрицами строками матрицами столбцами, то есть поэлементно. Результатом будет служить строка столбец, как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк столбцов и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк столбцов, то есть суммах с числовыми коэффициентами. Если строку матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число строки пропорциональны, то определитель матрицы равен нулю. Пусть в матрице i ая строка имеет вид. Тогда, где матрица получается из матрицы заменой i ой строки на строку, а матрица заменой i ой строки на строку. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю. Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так Утверждение 1. Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы справедлива формула Пример. Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех нули. Получим Утверждение 1. Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение. Все свойства определителя, сформулированные для строк утверждения 1 1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали. Определитель единичной матрицы равен единице,. Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий. Если, то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. Update Zip Creator Инструкция далее. В результате определитель, будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по утверждениям 1, 1. Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число. Тогда первый элемент второй строки будет равен. Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен. Первый элемент новой третьей строки будет равен Остальные элементы новой третьей строки обозначим ,. Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен. Наконец, первую строку умножим на число и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее, которая имеет вид причем. Для вычисления определителя матрицы используем разложение по первому столбцу Так как, то В правой части стоит определитель матрицы порядка. К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы сведется к вычислению определителя матрицы порядка. Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера. Вычислите определитель матрицы. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число Определитель не меняется. В результате получаем По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число. В результате получаем Ответ. Хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно. Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы, если. Таким образом, если существует, то. Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны. Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если, и невырожденной или неособенной матрицей, если. Если обратная матрица существует, то она единственна. Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и 1. Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы первый индекс показывает номер столбца, а второй номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение. Найдите обратную матрицу для матрицы.